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一道1991年高考数学真题,不少同学毫无思路,学霸却说太简单

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发表于 2021-5-25 16:46:19 | 显示全部楼层 |阅读模式
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函数是高中数学的重点也是难点,而三角函数对于不少高中生来说更是难点中的难点。本文和大家分享一道1991年高考数学三角函数的真题:求函数y=(sinx)^2+2sinxcosx+3(cosx)^2的最小值,并写出使函数y取最小值的x的集合。

一道1991年高考数学真题,不少同学毫无思路,学霸却说太简单-1.jpg

这道题的难度并不大,但是不少同学却感觉毫无思路,而学霸却说太简单了。下面我们一起来看一下这道题的解法。
要求函数y的最小值,那么需要先进行变换,这一步也是解题的关键。
一些同学看到函数y的形式后,首先想到的变形是这样的:
y=(sinx)^2+2sinxcosx+3(cosx)^2
=(sinx)^2+2sinxcosx+(cosx)^2+2(cosx)^2
=(sinx+cosx)^2+2(cosx)^2。

一道1991年高考数学真题,不少同学毫无思路,学霸却说太简单-2.jpg

上面这个变形看似进行了简化,但是到这一步后却很难再进一步化简,这也是一些同学做不出这道题的原因。
用三角恒等变换对三角函数化简时,大方向是先降幂再化为同一个角的同一个名称的三角函数,即化为y=Asin(ωx+φ)+B或者y=Acos(ωx+φ)+B的形式,然后再根据三角函数的性质求解。

一道1991年高考数学真题,不少同学毫无思路,学霸却说太简单-3.jpg

所以本题求解过程需要用到两个重要的公式,分别是:
降幂公式:
2(cosx)^2=cos2x+1;
2(sinx)^2=1-cos2x。
辅助角公式:
asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+φ),其中tanφ=b/a。
需要注意的是,降幂公式不需要单独记忆,可以通过二倍角余弦公式倒推得到。

一道1991年高考数学真题,不少同学毫无思路,学霸却说太简单-4.jpg

按照这个思路,这道题的正确变形方法应该为:
y=(sinx)^2+2sinxcosx+3(cosx)^2
=(sinx)^2+(cosx)^2+2sinxcosx+2(cosx)^2
=1+sin2x+cos2x+1
=sin2x+cos2x+2
=√2sin(2x+45°)+2。

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化简到这一步后,要求y的最小值,那么只需要sin(2x+45°)=-1即可,即y的最小值为2-√2。此时,2x+45°=360°k-90°,解出x的值即为y取最小值时x的值,然后写成集合形式即可。

一道1991年高考数学真题,不少同学毫无思路,学霸却说太简单-6.jpg

这道真题考查的是三角函数的基本计算,只要掌握了三角函数解题的基本思路,求出结果并不难。
这道题就和大家分享到这里。
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