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高考数学全国卷统计案例大题想拿满分必会这些

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发表于 2021-5-24 16:06:23 | 显示全部楼层 |阅读模式
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高考数学全国卷统计解答题思路及类型

这类题型在高考试题中算是中下难度试题,基本上是送分题,也是高考必出题型,但是考生却答得不是很理想。这类题看似简单,而答对或答满分又不是一件易事。因为这类题对学生所学相应知识点要求很高,不但深刻理解知识点还要合理应用这些知识点。所以考生需要通过系统训练,总结归纳,才能顺利通关。以此做以下几点总结和归纳,希望对正要参加高考的考生们有所帮助。
一、先要充实自己
1.概率的相关知识点必须搞清楚;
2.统计方法一定要铭记在心;
3.回归分析法和独立性检验一定要会熟练应用;
4.会看会画各种统计图以及计算图中相关量;
5.会用样本数字特征去估计总体特征。
二、再上战场
回归分析法综合型
1.某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xiyi)(i=1,2,…,20),其中xiyi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得出

高考数学全国卷统计案例大题想拿满分必会这些-1.jpg

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);
(2)求样本(xiyi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);
(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
附:

高考数学全国卷统计案例大题想拿满分必会这些-2.jpg

【分析】(1)利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数,代入数据即可;
(2)利用公式“附” 计算即可;
(3)各地块间植物覆盖面积差异较大,为提高样本数据的代表性,应采用分层抽样.
【解析】(1)样区野生动物平均数为 ,
地块数为200,该地区这种野生动物的估计值为
(2)样本 (i=1,2,…,20)的相关系数为

高考数学全国卷统计案例大题想拿满分必会这些-3.jpg

(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性,
由于各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物的数量差异很大,
采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行,提高了样本的代表性,
从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.
【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取,考查学生数学运算能力,是一道容易题.


2.【2018年高考全国Ⅱ卷文数】下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额 (单位:亿元)的折线图.


为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了 与时间变量 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型①: y^=13.5t-30.4;根据2010年至2016年的数据(时间变量 的值依次为 )建立模型②:y^=17.5t+99 .
(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值;
(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.




【答案】(1)模型①:226.1亿元,模型②:256.5亿元;(2)模型②得到的预测值更可靠,理由见解析.
【解析】(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y=–30.4+13.5×19=226.1(亿元).
利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y=99+17.5×9=256.5(亿元).
(2)利用模型②得到的预测值更可靠.
理由如下:
(i)从折线图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.
(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.
以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.




各类图表与统计综合型
1.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.
y的分组

[-0.20,0)

[0,0.20)

[0.20,0.40)

[0.40,0.60)

[0.60,0.80)

企业说

2

24

53

14

7


(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例;
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附: 根号下74=8.604






【答案】(1)产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%;(2)这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%17%
【解析】(1)根据产值增长率频数分布表得,
所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为
产值负增长的企业频率为
用样本频率分布估计总体分布的这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%
(2)
所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%17%




2. 某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
[0.6,0.7)
频数
1
3
2
4
9
26
5



使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量
[0,0.1)
[0.1,0.2)
[0.2,0.3)
[0.3,0.4)
[0.4,0.5)
[0.5,0.6)
频数
1
5
13
10
16
5



(1)在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:



高考数学全国卷统计案例大题想拿满分必会这些-4.jpg





(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35 m3的概率;
(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水?(一年按365天计算,同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.)










解:(1)

高考数学全国卷统计案例大题想拿满分必会这些-5.jpg

(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48,
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

估计使用节水龙头后,一年可节省水47.45立方米。






概率与独立性检验综合型
1.海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了100个网箱,测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如下:


(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”,估计A的概率;
(2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关:


箱产量<50 kg

箱产量≥50 kg

旧养殖法





新养殖法












(3)根据箱产量的频率分布直方图,对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附:
P(K^2≧k )

0.050

0.010

0.001

K

3.841
6.635

10.828











解析:(1)旧养殖法的箱产量低于50kg的频率为
(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62
因此,事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图的列联表


箱产量<50 kg

箱产量≥50 kg

旧养殖法

62

38

新养殖法

34

66







高考数学全国卷统计案例大题想拿满分必会这些-6.jpg





由于15.705>6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.
2.某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:


满意


不满意


男顾客


40
10
女顾客


30
20



(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;
(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?


P(K^2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828











2.解:
(1)由调查数据,男顾客中对该商场服务满意的比率为 ,因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8.
女顾客中对该商场服务满意的比率为 ,因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6.
(2) .

高考数学全国卷统计案例大题想拿满分必会这些-7.jpg



由于4.768>3.841 ,故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.


概率与样本的数字特征综合型
1.某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:件)按标准分为A,B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级


A
B
C
D
频数
40
20
20
20



乙分厂产品等级的频数分布表
等级


A
B
C
D
频数
28
17
34
21



(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?


1.解:
(1)由试加工产品等级的频数分布表知,
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
65
25
-5
-75
频数
40
20
20
20

因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
.


由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
-70
频数
28
17
34
21



因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为


比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.
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